Giải bài 36 trang 103

Đề bài

Cho hình vuông $A B C D$ . Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $C D$ và điểm $F$ thuộc tia đối của tia $B C$ sao cho $B F = D E$ .

a) Chứng minh tam giác $A E F$ là tam giác vuông cân

b) Gọi $I$ là trung điểm của $E F$ . Trên tia đối của tia $I A$ lấy điểm $K$ sao cho $I K = I A$ . Chứng minh tứ giác $A E K F$ là hình vuông.

c) Chứng minh $I$ thuộc đường thẳng $B D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Trong một hình vuông,

- Các cạnh đối song song

- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Lời giải chi tiết

Từ điểm $F$ kẻ đường thẳng song song với $C D$ cắt đường thẳng $B D$ tại $M$

a) $Δ A D E = Δ A B F$ (c.g.c)

Suy ra $A E = A F$ và $\hat{D A E} = \hat{B A F}$

Suy ra $\hat{D A E} + \hat{B A E} = \hat{B A F} + \hat{B A E}$ hay $\hat{B A D} = \hat{E A F}$ .

Do đó, $\hat{E A F} = 90^{\circ}$

Tam giác $A E F$ có $\hat{E A F} = 90^{\circ}, A E = A F$ nên tam giac $A E F$ vuông cân tại $A$ .

b) Tứ giác $A E K F$ có hai đường chéo $A K, E F$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $A E K F$ là hình bình hành

hình bình hành $A E K F$ có $\hat{E A F} = 90^{\circ}$ nên $A E K F$ là hình chữ nhật.

hình chữ nhật $A E K F$ có $A E = A F$ nên $A E K F$ là hình vuông.

c) Do $A B C D$ là hình vuông nên ta tính được $\hat{C B D} = 45^{\circ}$ . Mà $\hat{F B M} = \hat{C B D}$ (hai góc đối đỉnh), suy ra $\hat{F B M} = 45^{\circ}$ .

Do $M F = C D$ nên $\hat{B F M} = \hat{B C D}$ (cặp góc so le trong)

Do đó $\hat{B F M} = 90^{\circ}$ . Ta chứng minh được tam giác $F B M$ vuông cân tại $F$ . Suy ra $M F = B F$ . Mà $B F = D E$ , suy ra $M F = D E$ .

Tứ giác $D \` E M$ có $M F = D E$ và $M F / / D E$ nên $D \` E M$ là hình bình hành.

Mà $I$ là trung điểm của $E F$ , suy ra $I$ là trung điểm của $D M$

Vậy $I$ thuộc đường thẳng $D M$ hay $I$ thuộc đường thẳng $B D$ .