Giải bài 36 trang 103

Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$. Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $CD$ và điểm $F$ thuộc tia đối của tia $BC$ sao cho $BF=DE$.

a)     Chứng minh tam giác $AEF$ là tam giác vuông cân

b)    Gọi $I$ là trung điểm của $EF$. Trên tia đối của tia $IA$ lấy điểm $K$ sao cho $IK=IA$. Chứng minh tứ giác $AEKF$ là hình vuông.

c)     Chứng minh $I$ thuộc đường thẳng $BD$.

Lời giải chi tiết

Từ điểm $F$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt đường thẳng $BD$ tại $M$

a)     $\Delta ADE=\Delta ABF$ (c.g.c)

Suy ra $AE=AF$ và $\widehat{DAE}=\widehat{BAF}$

Suy ra $\widehat{DAE}+\widehat{BAE}=\widehat{BAF}+\widehat{BAE}$ hay $\widehat{BAD}=\widehat{EAF}$.

Do đó, $\widehat{EAF}={90}^{\circ }$

Tam giác $AEF$ có $\widehat{EAF}={90}^{\circ },AE=AF$ nên tam giac $AEF$ vuông cân tại $A$.

b)    Tứ giác $AEKF$ có hai đường chéo $AK,EF$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $AEKF$ là hình bình hành

hình bình hành $AEKF$ có $\widehat{EAF}={90}^{\circ }$ nên $AEKF$ là hình chữ nhật.

hình chữ nhật $AEKF$ có $AE=AF$ nên $AEKF$ là hình vuông.

c)     Do $ABCD$ là hình vuông nên ta tính được $\widehat{CBD}={45}^{\circ }$. Mà $\widehat{FBM}=\widehat{CBD}$ (hai góc đối đỉnh), suy ra $\widehat{FBM}={45}^{\circ }$.

Do $MF=CD$ nên $\widehat{BFM}=\widehat{BCD}$ (cặp góc so le trong)

Do đó $\widehat{BFM}={90}^{\circ }$. Ta chứng minh được tam giác $FBM$ vuông cân tại $F$. Suy ra $MF=BF$. Mà $BF=DE$, suy ra $MF=DE$.

Tứ giác $D\text{`}EM$ có $MF=DE$ và $MF//DE$ nên $D\text{`}EM$ là hình bình hành.

Mà $I$ là trung điểm của $EF$, suy ra $I$ là trung điểm của $DM$

Vậy $I$ thuộc đường thẳng $DM$ hay $I$ thuộc đường thẳng $BD$.