Giải bài 36 trang 117

Cho đường tròn (O; 1dm) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn sao cho ˆABC=45∘ABC^=45∘\widehat {ABC} = 45^\circ , ˆACB=15∘ACB^=15∘\widehat {ACB} = 15^\circ . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, tia AH cắt đường tròn (O) tại E (Hình 36). Tính: a) Số đo cung nhỏ CE và số đo cung lớn BC; b) Độ dài các đoạn

Đề bài

Cho đường tròn (O; 1dm) và ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn sao cho $\hat{A B C} = 45^{\circ}$ , $\hat{A C B} = 15^{\circ}$ . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, tia AH cắt đường tròn (O) tại E (Hình 36). Tính:

a) Số đo cung nhỏ CE và số đo cung lớn BC;

b) Độ dài các đoạn thẳng AC, BC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Số đo cung nhỏ CE bằng $2. \hat{H A C}$ (do góc HAC nôi tiếp chắc cung nhỏ CE).

Số đo cung lớn BC bằng $2. \hat{B A C}$ (do góc BAC nội tiếp chắn cung lớn BC).

b) Bước 1: Chứng minh tam giác OAC vuông cân để tính AC.

Bước 2: Chứng minh $Δ O B M = Δ O C M$ để suy ra $B M = C M = \frac{B C}{2}$

Bước 3: Tính góc OCM.

Bước 4: Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông OCM để tính CM.

Bước 5: Tính $B C = 2 C M$ .

Lời giải chi tiết

Kẻ OM vuông góc với BC tại M, suy ra $\hat{B M O} = \hat{M C O} = 90^{\circ}$ .

a) Xét tam giác HAC vuông tại H có $\hat{H A C} + \hat{A C H} = 90^{\circ}$ hay $\hat{H A C} = 90^{\circ} - \hat{A C H} = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$

Mặt khác, $\hat{H A C}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ EC nên số đo cung nhỏ EC là $2. \hat{H A C} = {2.75}^{\circ} = 150^{\circ}$ .

Xét tam giác ABC có $\hat{B A C} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180^{\circ}$ hay

$\hat{B A C} = 180^{\circ} - (\hat{A B C} + \hat{A C B}) = 180^{\circ} - (45^{\circ} - 15^{\circ}) = 120^{\circ}$

mà $\hat{B A C}$ là góc nội tiếp chắn cung lớn BC nên số đo cung lớn BC là $2. \hat{B A C} = {2.120}^{\circ} = 240^{\circ}$ .

b) Ta có góc ABC nội tiếp chắn cung AC của (O), mà $\hat{A B C} = 45^{\circ}$ nên số đo cung AC là $2. \hat{A B C} = {2.45}^{\circ} = 90^{\circ}$ .

Do đó góc ở tâm chắn cung AC là góc AOC có số đo bằng $90^{\circ}$ .

Xét tam giác OAC có $O A = O C = 1$ dm (cùng bằng bán kính (O)), $\hat{A O C} = 90^{\circ}$ suy ra tam giác OAC vuông cân tại O, do đó $C A = \sqrt{O A^{2} + O C^{2}}$ (Định lí Pythagore) hay $C A = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ dm.

Xét 2 tam giác OBM và OCM có

$O B = O C$ (cùng bằng bán kính (O))

OM chung

$\hat{B M O} = \hat{M C O} = 90^{\circ}$

Suy ra $Δ O B M = Δ O C M$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông), do đó $B M = C M = \frac{B C}{2}$ .

Ta có $Δ O A C$ vuông cân nên $\hat{O C A} = 45^{\circ}$ . Ta lại có $\hat{O C M} = \hat{O C A} - \hat{A C B} = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$

Mặt khác, tam giác OCM vuông tại M nên $C M = O C . \cos \hat{O C M} = 1. \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dm.

Vậy $B C = 2 C M = 2. \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ dm.