Giải bài 36 trang 23

Đề bài

Ở Hình 5, cho hai hình chóp tứ giác đều S.ABCD và S’.A’B’C’D’ có cùng chiều cao SH= S’H = 30 cm. Thể tích của hình chóp S.ABCD nhỏ hơn thể tích của hình chóp S’A’B’C’D' là 240 cm³. Tính độ dài cạnh đáy của mỗi hình chóp, biết $A^{\prime }{B}^{\prime }-AB=2$cm.

 

Lời giải chi tiết

Ta có AB và A’B’ lần lượt là độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều S.ABCD và S’.A’B’C’D’.

Theo đề bài ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }-AB=2$.

Thể tích hình chóp S.ABCD là $\frac{1}{3}.A{B}^2.30$ cm³ và hình chóp S’.A’B’C’D’ là $\frac{1}{3}.A^{\prime }B{}^{\prime 2}.30$ cm³.

Do thể tích của hình chóp S.ABCD nhỏ hơn thể tích của hình chóp S’A’B’C’D' là 240 cm³ nên ta có phương trình $\frac{1}{3}.A^{\prime }B{}^{\prime 2}.30-\frac{1}{3}.A{B}^2.30=240$ hay $A^{\prime }B{}^{\prime 2}-A{B}^2=24$.

Ta lập được hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{A}^{\prime }{B}^{\prime }-AB=2\left(1\right)\\ A^{\prime }B{}^{\prime 2}-A{B}^2=24\left(2\right)\end{array}$

Từ (1) suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }=2+AB$ (3). Thế (3) vào (2) ta được:

$\begin{array}{c}{\left(2+AB\right)}^2-A{B}^2=24\\ 4+4AB+A{B}^2-A{B}^2-24=0\\ 4AB=20\\ AB=5\end{array}$

Thay $AB=5$ vào (1) ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }=2+5=7$.

Vậy độ dài cạnh đáy của 2 hình chóp S.ABCD và S’.A’B’C’D’ lần lượt là 5cm và 7cm.