Giải bài 36 trang 60

Đề bài

Tính góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ nếu cần):

a) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 3 + 2 t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \\ z = 0 \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = 7 + t_{2} \\ y = - 3 - t_{2} \\ z = 2 t_{2} \end{cases}$ ( $t_{1}, t_{2}$ là tham số);

b) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 5 - 2 t \\ z = 7 - 2 t \end{cases}$ (với $t$ là tham số) và $Δ_{2} : \frac{x + 4}{2} = \frac{y + 6}{2} = \frac{z - 10}{- 1}$ ;

c) $Δ_{1} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 5}{- 3}$ và $Δ_{2} : \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{- 1}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó ta có:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; 1; 0)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (1; - 1; 2)$ .

Côsin của góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ bằng:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| 2.1 + 1. (- 1) + 0.2 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 0^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{30}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 79^{\circ}$ .

b) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; - 2; - 2)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (2; 2; - 1)$ .

Côsin của góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ bằng:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| 1.2 + (- 2) .2 + (- 2) . (- 1) |}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 0$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 90^{\circ}$ .

c) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (- 1; 2; - 3)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (2; - 1; - 1)$ .

Côsin của góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ bằng:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| - 1.2 + 2. (- 1) - 3. (- 1) |}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + {(- 3)}^{2}} . \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{\sqrt{21}}{42}$ .

Vậy $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 84^{\circ}$ .