Giải bài 37 trang 16

Đề bài

Tính các tổng sau (Không sử dụng máy tính cầm tay):

a) $T=C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{3}{C}_4^2+\frac{1}{4}{C}_4^3+\frac{1}{5}{C}_4^4$

b) $S=C_6^1+2C_6^2+3C_6^3+4C_6^4+5C_5^6+6C_6^6$

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng kết quả $\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{1}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$ với $0\le k\le n$ (chứng minh ở Bài 27a trang 14 SBT Toán 10 tập 2), ta được:

 

 

 

Xét $(a+b{)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

Thay a = 1, b = 1 vào khai triển trên ta có: $(1+1{)}^5=C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5$

$\Rightarrow C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=2^5=32$ $\Rightarrow C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=32-C_5^0$

Khi đó: $T=\frac{1}{5}(C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5)=\frac{1}{5}(32-C_5^0)=\frac{1}{5}(32-1)$$=\frac{31}{5}$

 

Vậy $T=\frac{31}{5}$

b) Áp dụng kết quả $k{C}_n^k=n{C}_{n-1}^{k-1}$ với $1\le k\le n$  (chứng minh ở Bài 27b trang 14 SBT Toán tập 2), ta được:

 

 

 

Theo a) ta có: $C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=2^5=32$

Khi đó: $S=6.(C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5)=6.32=192$

Vậy S = 192