Giải bài 37 trang 19

Tìm số tự nhiên nnn để n3−n2+n−1n3−n2+n−1{n^3} - {n^2} + n - 1 là số nguyên tố.

Đề bài

Tìm số tự nhiên $n$ để $n^{3} - n^{2} + n - 1$ là số nguyên tố.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm số tự nhiên $n$ là số nguyên tố.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$n^{3} - n^{2} + n - 1 = (n^{3} - n^{2}) + (n - 1) = n^{2} (n - 1) + (n - 1) = (n^{2} + 1) (n - 1)$

Với mọi số tự nhiên $n$ , ta có: $n - 1 < n^{2} + 1$ . Do đó, để $n^{3} - n^{2} + n - 1$ là số nguyên tố thì $n - 1 = 1$ . Suy ra $n = 2$ . Khi đó $n^{3} - n^{2} + n - 1 = 5$ là số nguyên tố.

Vậy $n = 2$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài.