Giải bài 37 trang 60

Tính góc giữa đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (left( P right)) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): a) (Delta :left{ begin{array}{l}x = 18 - sqrt 3 t\y = 11\z = 5 + tend{array} right.) (với (t) là tham số) và (left( P right):x - sqrt 3 y - z - 3 = 0); b) (Delta :frac

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) $Δ : {\begin{cases} x = 18 - \sqrt{3} t \\ y = 11 \\ z = 5 + t \end{cases}$ (với $t$ là tham số) và $(P) : x - \sqrt{3} y - z - 3 = 0$ ;

b) $Δ : \frac{x - 8}{2} = \frac{y - 7}{- 3} = \frac{z - 6}{3}$ và $(P) : 3 x - 4 y + 5 z - 6 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó ta có:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- \sqrt{3}; 0; 1)$ .

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - \sqrt{3}; - 1)$ .

Sin của góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| - \sqrt{3} .1 + 0. (- \sqrt{3}) + 1. (- 1) |}{\sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 0^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{5}}{10}$ .

Vậy $(Δ, (P)) \approx 38^{\circ}$ .

b) Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; - 3; 3)$ .

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; - 4; 5)$ .

Sin của góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| 2.3 - 3. (- 4) + 3.5 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2} + 3^{2}} . \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2} + 5^{2}}} = \frac{3 \sqrt{11}}{10}$ .

Vậy $(Δ, (P)) \approx 84^{\circ}$ .