Giải bài 37 trang 67

Đề bài

a) Cho biểu thức: $C = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{24}} + \frac{1}{\sqrt{25}} .$ Chứng minh $C > \frac{24}{5} .$

b) Cho biểu thức $D = (\frac{y - 2}{y + 2 \sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{y} + 2}) . \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y} - 1}$ với $y > 0, y \neq 1.$ Chứng minh $D = \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y}} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta thấy biểu thức C có 24 hạng tử, ta so sánh mỗi hạng tử với $\frac{1}{\sqrt{25}}$ , tức là:

$C = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{25}} > \frac{1}{\sqrt{25}} + \frac{1}{\sqrt{25}} + \frac{1}{\sqrt{25}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{25}}$

Từ đó ta được đpcm.

b) Biến đổi $\frac{y - 2}{y + 2 \sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{y} + 2} = \frac{y - 2}{\sqrt{y} (\sqrt{y} + 2)} + \frac{1}{\sqrt{y} + 2} = \frac{y - 2 + \sqrt{y}}{\sqrt{y} (\sqrt{y} + 2)} = \frac{(\sqrt{y} - 1) (\sqrt{y} + 2)}{\sqrt{y} (\sqrt{y} + 2)}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $2 < 3 < 4 < . . . < 25$ nên $\sqrt{2} < \sqrt{3} < \sqrt{4} < . . . < \sqrt{25}$ , do đó $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{4}} > . . . > \frac{1}{\sqrt{25}}$ .

Suy ra $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{25}} > \frac{1}{\sqrt{25}} + \frac{1}{\sqrt{25}} + \frac{1}{\sqrt{25}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{25}}$ (24 hạng tử $\frac{1}{\sqrt{25}}$ ).

Hay $C > 24. \frac{1}{\sqrt{25}}$ . Vậy $C > \frac{24}{5}$ .

b) $D = (\frac{y - 2}{y + 2 \sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{y} + 2}) . \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y} - 1}$

$\begin{array}{l} = (\frac{y - 2}{\sqrt{y} (\sqrt{y} + 2)} + \frac{1}{\sqrt{y} + 2}) . \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y} - 1} \\ = \frac{y - 2 + \sqrt{y}}{\sqrt{y} (\sqrt{y} + 2)} . \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y} - 1} \\ = \frac{(\sqrt{y} - 1) (\sqrt{y} + 2)}{\sqrt{y} (\sqrt{y} + 2)} . \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y} - 1} \\ = \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y}} \end{array}$

Vậy $D = \frac{\sqrt{y} + 1}{\sqrt{y}} .$