Giải bài 38 trang 18

Đề bài

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{(\ln x)}^{2}}{x}$ trên đoạn $[1; e^{3}]$ là $M = \frac{a}{e^{b}}$ , trong đó $a, b$ là các số tự nhiên. Khi đó $a^{2} + 2 b^{3}$ bằng:

A. 22.

B. 24.

C. 32.

D. 135.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ :

Bước 1. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ thuộc khoảng $(a; b)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (a)$ và $f (b)$ .

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $y^{'} = \frac{{[{(\ln x)}^{2}]}^{'} . x - {(\ln x)}^{2} . {(x)}^{'}}{x^{2}} = \frac{\frac{2 \ln x}{x} . x - {(\ln x)}^{2}}{x^{2}} = \frac{2 \ln x - {(\ln x)}^{2}}{x^{2}}$

Khi đó, trên đoạn $[1; e^{3}]$ , $y^{'} = 0$ khi $x = 1$ hoặc $x = e^{2}$ .

$y (1) = 0; y (e^{2}) = \frac{4}{e^{2}}; y (e^{3}) = \frac{9}{e^{3}}$ .

Vậy $max_{[1; e^{3}]} y = \frac{4}{e^{2}}$ tại $x = e^{2}$ .

Vậy $a = 4, b = 2 \Leftrightarrow a^{2} + 2 b^{3} = 32$ .

Chọn C.