Giải bài 38 trang 21

Đề bài

Nêu một ví dụ chỉ ra rằng $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx\ne \frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx}$ với $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right],g\left(x\right)=0,\forall x\in \left[a;b\right]$.

Lời giải chi tiết

Lấy $f\left(x\right)=1,g\left(x\right)=x,a=1,b=2$. Ta có:

$\begin{array}{c}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx={\ln \left|x\right||}_1^2=\ln \left|2\right|-\ln \left|1\right|=\ln 2\\ \frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx}=\frac{\underset{1}{\overset{2}{\int }}1dx}{\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx}=\frac{{x|}_1^2}{{\frac{x^2}{2}|}_1^2}=\frac{2-1}{\frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2}}=\frac{2}{3}\end{array}$

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx\ne \frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx}$.