Giải bài 38 trang 67

Đề bài

Cho biểu thức $M=\frac{1}{2\sqrt{x}-2}-\frac{1}{2\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}}{1-x}$ với $x>0$.

a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tính giá trị biểu thức M tại $x=\frac{4}{9}.$

c) Tìm giá trị của x để $\left|M\right|=\frac{1}{3}$.

Lời giải chi tiết

a) Với $x>0$, ta có:

 $\begin{array}{c}M=\frac{1}{2\sqrt{x}-2}-\frac{1}{2\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}}{1-x}\\ =\frac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}\\ =\frac{\sqrt{x}+1}{2\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}-\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)}{2\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}+\frac{2\sqrt{x}}{2\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}\\ =\frac{\sqrt{x}+1-\left(\sqrt{x}-1\right)-2\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}\\ =\frac{2-2\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}\\ =\frac{2\left(1-\sqrt{x}\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}\\ =-\frac{1}{1+\sqrt{x}}\end{array}$

Vậy $M=-\frac{1}{1+\sqrt{x}}$.

b) Thay $x=\frac{4}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào M, ta được:

$M=-\frac{1}{1+\sqrt{x}}=-\frac{1}{1+\sqrt{\frac{4}{9}}}=-\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=\frac{-3}{5}$

Vậy $M=\frac{-3}{5}$ với $x=\frac{4}{9}$.

a)   Để $\left|M\right|=\frac{1}{3}$ thì $\left|-\frac{1}{1+\sqrt{x}}\right|=\frac{1}{3}$

Ta xét 2 trường hợp sau:

TH1: $-\frac{1}{1+\sqrt{x}}=\frac{1}{3}$

$\begin{array}{c}-\frac{1}{1+\sqrt{x}}=\frac{1}{3}\\ 1+\sqrt{x}=-3\end{array}$

$\sqrt{x}=-4$ (vô lý)

TH2:

 $\begin{array}{c}-\frac{1}{1+\sqrt{x}}=-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{1+\sqrt{x}}=\frac{1}{3}\\ 1+\sqrt{x}=3\\ \sqrt{x}=2\\ x=4\left(TMĐK\right)\end{array}$

Vậy $x=4$ là giá trị cần tìm.