Giải bài 39 trang 103

Đề bài

Cho tứ giác $A B C D$ có $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C, C D, D A$ . Điều kiện của tứ giác $A B C D$ để tứ giác $E F G H$ là hình chữ nhật là:

A. $B D = A C$

B. $A B ⊥ B C$

C. $B D ⊥ A C$

D. $A B = C D$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào dấu hiệu nhận biết các hình:

Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông để tìm ra điều kiện của hai đường chéo $A C$ và $B D$ tương ứng.

Lời giải chi tiết

Nối $A C, B D$

Xét tam giác $A B C D$ có $E, H$ lần lượt là trung điểm của $A B, A D$ nên $E H$ là đường trung bình của tam giác $A B D$ .

Suy ra $E H / / B D, E H = \frac{1}{2} B D$ (1)

Tương tự xét tam giác $C B D$ có $F, G$ lần lượt là trung điểm của $B C, C D$ nên $F g$ là đường trung bình của tam giác $C B D$ suy ra $F G / / B D, F G = \frac{1}{2} B D$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $E H / / F G; E H = F G$ nên $E F G H$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để hình bình hành $E F G H$ là hình chữ nhật thì $\hat{E H G} = 90^{\circ}$ hay $E H ⊥ H G$

Lại có $H G / / A C$ (do $H G$ là đường trung bình của tam giác $D A C$ ) nên $E H ⊥ A C$ mà $E H ⊥ B D$ (cmt) nên $A C ⊥ B D$ .

Vậy tứ giác $A B C D$ cần có $A C ⊥ B D$ thì $E F G H$ là hình chữ nhật.

→ Đáp án đúng là đáp án C.