Giải bài 39 trang 103

Cho tứ giác ABCDABCDABCD có E,F,G,HE,F,G,HE,F,G,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA. Điều kiện của tứ giác ABCDABCDABCD để tứ giác EFGHEFGHEFGH là hình chữ nhật là:

Đề bài

Cho tứ giác $A B C D$ có $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C, C D, D A$ . Điều kiện của tứ giác $A B C D$ để tứ giác $E F G H$ là hình chữ nhật là:

A. $B D = A C$

B. $A B ⊥ B C$

C. $B D ⊥ A C$

D. $A B = C D$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào dấu hiệu nhận biết các hình:

Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông để tìm ra điều kiện của hai đường chéo $A C$ và $B D$ tương ứng.

Lời giải chi tiết

Nối $A C, B D$

Xét tam giác $A B C D$ có $E, H$ lần lượt là trung điểm của $A B, A D$ nên $E H$ là đường trung bình của tam giác $A B D$ .

Suy ra $E H / / B D, E H = \frac{1}{2} B D$ (1)

Tương tự xét tam giác $C B D$ có $F, G$ lần lượt là trung điểm của $B C, C D$ nên $F g$ là đường trung bình của tam giác $C B D$ suy ra $F G / / B D, F G = \frac{1}{2} B D$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $E H / / F G; E H = F G$ nên $E F G H$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để hình bình hành $E F G H$ là hình chữ nhật thì $\hat{E H G} = 90^{\circ}$ hay $E H ⊥ H G$

Lại có $H G / / A C$ (do $H G$ là đường trung bình của tam giác $D A C$ ) nên $E H ⊥ A C$ mà $E H ⊥ B D$ (cmt) nên $A C ⊥ B D$ .

Vậy tứ giác $A B C D$ cần có $A C ⊥ B D$ thì $E F G H$ là hình chữ nhật.

→ Đáp án đúng là đáp án C.