Giải bài 39 trang 67

Đề bài

Cho biểu thức $N = (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}) . \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ với $x > 0$ .

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Quy đồng mẫu thức các phân thức trong ngoặc.

b) Bước 1: Tách $N = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Bước 2: Dùng kết quả của bất đẳng thức $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ để tìm giá trị nhỏ nhất của N (áp dụng với $a = \sqrt{x}; b = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ).

Lời giải chi tiết

a) $N = (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}) . \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

$= \frac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x} . \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} . \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}} = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Vậy $N = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0$ .

b) $N = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0$

Với 2 số a,b không âm, ta có: ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ hay $a + b - 2 \sqrt{a b} \geq 0$ , do đó $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ .

Áp dụng kết quả trên với 2 số không âm $\sqrt{x}$ và $\frac{1}{\sqrt{x}}$ , ta có: $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2 \sqrt{\sqrt{x} . \frac{1}{\sqrt{x}}}$

hay $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2$ , do đó $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1 \geq 3$ , suy ra $N \geq 3$

Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , do đó $x = 1$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 3 khi $x = 1$ .