Giải bài 4.1 trang 7

Tìm hàm số (y = fleft( x right)), biết (f'left( x right) = 3sqrt x + frac{2}{{sqrt[3]{x}}}{rm{ }}left( {x > 0} right)) và (fleft( 1 right) = 1).

Đề bài

Tìm hàm số $y = f (x)$ , biết $f^{'} (x) = 3 \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} (x > 0)$ và $f (1) = 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

$f (x)$ là một nguyên hàm của $f^{'} (x)$ , ta tìm nguyên hàm này bằng các biến đổi cơ bản và

sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa. Kết hợp điều kiện $f (1) = 1$ để tìm ra kết quả cuối cùng.

Lời giải chi tiết

Do $f^{'} (x) = 3 \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} (x > 0)$ nên $f (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $3 \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ .

Ta có $f (x) = \int (3 \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}) d x = 3 \int \sqrt{x} d x + 2 \int \frac{d x}{\sqrt[3]{x}} = 3 \cdot \frac{x \sqrt{x}}{(\frac{3}{2})} + 2 \cdot \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{(\frac{2}{3})} + C = 2 x \sqrt{x} + 3 \sqrt[3]{x^{2}} + C$ .

Thay $x = 1$ ta được $f (1) = 2 + 3 + C = 1$ suy ra $C = - 4$ .

Vậy hàm số cần tìm là $f (x) = 2 x \sqrt{x} + 3 \sqrt[3]{x^{2}} - 4$ .