Giải bài 4.1 trang 7

Đề bài

Tìm hàm số $y=f\left(x\right)$, biết $f^{\prime }\left(x\right)=3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{3x}}\left(x>0\right)$ và $f\left(1\right)=1$.

Lời giải chi tiết

Do $f^{\prime }\left(x\right)=3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{3x}}\left(x>0\right)$ nên $f\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{3x}}$.

Ta có $f\left(x\right)=\int \left(3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[3]{3x}}\right)dx=3\int \sqrt{x}dx+2\int \frac{dx}{\sqrt[3]{3x}}=3\cdot \frac{x\sqrt{x}}{\left(\frac{3}{2}\right)}+2\cdot \frac{\sqrt[3]{3x^2}}{\left(\frac{2}{3}\right)}+C=2x\sqrt{x}+3\sqrt[3]{3x^2}+C$.

Thay $x=1$ ta được $f\left(1\right)=2+3+C=1$ suy ra $C=-4$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left(x\right)=2x\sqrt{x}+3\sqrt[3]{3x^2}-4$.