Giải bài 4.11 trang 12

Đề bài

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(2x+1\right)dx$;

b) $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\sqrt{16-x^2}dx$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có hàm số $f\left(x\right)=2x+1$ không âm trên đoạn $\left[0;3\right]$. Do đó tích phân $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(2x+1\right)dx$ là

diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị $y=f\left(x\right)$ và hai đường thẳng $x=0$ (trục $Ox$) và

$x=3$ như hình vẽ bên. Ta cần tính diện tích hình thang vuông có

đáy lớn là 7, đáy bé là 1 và chiều cao là 3.

Suy ra $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(2x+1\right)dx=\frac{1}{2}\cdot \left(1+7\right)\cdot 3=12$.

b) Ta có $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\sqrt{16-x^2}dx$.

Ta có hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{16-x^2}$ không âm trên đoạn $\left[0;4\right]$. Do đó tích phân $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(2x+1\right)dx$ là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị $y=f\left(x\right)$ và hai đường thẳng $x=0$ (trục $Ox$) và $x=4$ như hình vẽ bên.

Ta cần tính diện tích một phần tư đường tròn có bán kính là 4, tâm O nằm ở góc phần tư thứ I. Suy ra $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\sqrt{16-x^2}dx=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 4^2=4\pi$.