Giải bài 4.13 trang 58

Cho hai điểm phân biệt A và B.

Đề bài

Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ .

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nhắc lại: Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

a) Cách 1: Nhận xét về phương chiều, độ lớn của hai vecto $\vec{K A}$ và $\vec{K B}$ , suy ra vị trí điểm K.

Cách 2: Biểu diễn vecto $\vec{K A}$ (hoặc $\vec{K B}$ ) theo vecto $\vec{A B}$ .

b) Biểu diễn vecto $\vec{O K}$ bằng cách chèn điểm: $\vec{O A} = \vec{O K} + \vec{K A}$ , $\vec{O B} = \vec{O K} + \vec{K B}$ .

Lời giải chi tiết

a) Cách 1: Ta có: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{K A} = - 2 \vec{K B}$ .

Suy ra vecto $\vec{K A}$ và vecto $\vec{K B}$ cùng phương, ngược chiều và $K A = 2. K B$ .

$\Rightarrow K, A, B$ thẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: $K A = 2. K B$ .

Cách 2: Ta có: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{K B} + \vec{B A}) + 2 \vec{K B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3. \vec{K B} + \vec{B A} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 3. \vec{K B} = \vec{A B}$

$\Leftrightarrow \vec{K B} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ .

Vậy K thuộc đoạn AB sao cho $K B = \frac{1}{3} A B$ .

b) Với O bất kì, ta có: $\frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$

$= \frac{1}{3} (\vec{O K} + \vec{K A}) + \frac{2}{3} (\vec{O K} + \vec{K B})$

$= (\frac{1}{3} \vec{O K} + \frac{2}{3} \vec{O K}) + (\frac{1}{3} \vec{K A} + \frac{2}{3} \vec{K B})$

$= \vec{O K} + \frac{1}{3} (\vec{K A} + 2 \vec{K B}) = \vec{O K}$ (vì $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ ).

Vậy với mọi điểm O, ta có $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ .