Giải bài 4.14 trang 54

Đề bài

Cho tam giác $O A B$ vuông cân, với $O A = O B = a .$ Hãy xác định độ dài của các vectơ sau $\vec{O A} + \vec{O B}, \vec{O A} - \vec{O B}, \vec{O A} + 2 \vec{O B}, 2 \vec{O A} - 3 \vec{O B} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi $D$ là điểm đối xứng với $O$ qua $B,$ $F$ là điểm đối xứng với $B$ qua $D$ và $G$ là điểm đối xứng với $O$ qua $A .$

- Vẽ hình vuông $O A C B$ và hình chữ nhật $O A E D$

Lời giải chi tiết

+) Theo quy tắc hình bình hành, $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ với C là đỉnh thứ tư của hình bình hành $O A C B$

Ta có: tứ giác $O A C B$ là hình bình hành

mặt khác $Δ O A B$ vuông cân tại $A$

nên tứ giác $O A C B$ là hình bình hành

$\Rightarrow$ $| \vec{O C} | = O C = \sqrt{O A^{2} + O B^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$

+) Ta có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$

Xét $Δ O A B$ vuông cân tại $O$ có:

$\Rightarrow$ $| \vec{A B} | = A B = \sqrt{O A^{2} + O B^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$

+) Gọi điểm $D$ là điểm đối xứng với $O$ qua $B$

$\Rightarrow$ $2 \vec{O B} = \vec{O D}$ và $O D = 2 a .$

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\vec{O A} + 2 \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{O D} = \vec{O E}$ với $E$ là điểm thứ tư của hình bình hành $O A E D$

Ta có: tứ giác $O A E D$ là hình bình hành

Mặt khác $\hat{D O A} = 90^{\circ}$

Nên tứ giác $O A E D$ là hình chữ nhật

Xét hình chữ nhật $O A E D$ có:

$\Rightarrow$ $| \vec{O E} | = O E = \sqrt{O A^{2} + O D^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2}} = a \sqrt{5}$

+) Lấy điểm $F$ đối xứng với $B$ qua $D$ và $G$ đối xứng với $O$ qua $A$

$\Rightarrow$ $2 \vec{O A} = \vec{O G},$ $3 \vec{O B} = \vec{O F},$ $O G = 2 a,$ $O F = 3 a$

Ta có: $2 \vec{O A} - 3 \vec{O B} = \vec{O G} - \vec{O F} = \vec{F G}$

Xét $Δ O F G$ vuông tại $O$ có:

$\Rightarrow$ $| \vec{F G} | = F G = \sqrt{O F^{2} + O G^{2}} = \sqrt{{(3 a)}^{2} + {(2 a)}^{2}} = a \sqrt{13}$