Đề bài
Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định điểm M để −−→MA+−−→MB+2−−→MC=→0.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có −−→OA+−−→OB+2−−→OC=4−−→OM.
Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có: −−→AB+−−→BC=−−→AC.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: −−→MA+−−→MB+2−−→MC=→0
⇔−−→MA+(−−→MA+−−→AB)+2(−−→MA+−−→AC)=→0
⇔4−−→MA+−−→AB+2−−→AC=→0
⇔4−−→AM=−−→AB+2−−→AC
⇔−−→AM=14−−→AB+12−−→AC.
Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho AD=14AB, AE=12AC.
Khi đó −−→AM=−−→AD+−−→AE hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.
Cách 2:
Ta có: −−→MA+−−→MB+2−−→MC=→0
⇔(−−→MC+−−→CA)+(−−→MC+−−→CB)+2−−→MC=→0
⇔4−−→MC+−−→CA+−−→CB=→0
⇔4.−−→CM=−−→CA+−−→CB.
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.
Khi đó: −−→CD=−−→CA+−−→CB
⇒4.−−→CM=−−→CD
⇔−−→CM=14−−→CD
⇔−−→CM=12−−→CO.
Với O là tâm hình bình hành ACBD, cũng là trung điểm đoạn AB.
Vậy M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có −−→OA+−−→OB+2−−→OC=4−−→OM.
Với mọi điểm O, ta có: ⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩−−→OA=−−→OM+−−→MA−−→OB=−−→OM+−−→MB−−→OC=−−→OM+−−→MC
⇒−−→OA+−−→OB+2−−→OC
=(−−→OM+−−→MA)+(−−→OM+−−→MB)+2(−−→OM+−−→MC)
=4−−→OM+(−−→MA+−−→MB+2−−→MC)
=4−−→OM+→0=4−−→OM.
Vậy với mọi điểm O, ta có −−→OA+−−→OB+2−−→OC=4−−→OM.
