Giải bài 4.15 trang 13

Tính các tích phân sau: a) (intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {3cos x + 2sin x} right)dx} ); b) (intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {left( {frac{1}{{{{cos }^2}x}} - frac{1}{{{{sin }^2}x}}} right)dx} ).

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 \cos x + 2 \sin x) d x$ ;

b) $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x}) d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lượng giác.

Ý b: Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lượng giác.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 \cos x + 2 \sin x) d x = 3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x = 3 {\sin x |}_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 {\cos x |}_{0}^{\frac{π}{2}} = 3 + 2 = 5$ .

b) Ta có

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x}) d x = {(\tan x + \cot x) |}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} = \tan \frac{π}{4} + \cot \frac{π}{4} - \tan \frac{π}{6} - \cot \frac{π}{6} = 2 - \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} = 2 - \frac{4}{\sqrt{3}}$ .