Giải bài 4.15 trang 46

Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin(alpha ), cos(alpha ), tan(alpha ), cot(alpha ), hãy chứng minh rằng: a) (tanalpha = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }},cot alpha = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }}); b) (1 + {tan ^2}alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}).

Đề bài

Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin $α$ , cos $α$ , tan $α$ , cot $α$ , hãy chứng minh rằng:

a) $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}, \cot α = \frac{\cos α}{\sin α}$ ;

b) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) - Xét tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng $α$ . Ta có:

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của $α$ .

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là cos của $α$ .

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề gọi là tan của $α$ .

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối gọi là cot của $α$ .

b) + Áp dụng định Pythagore vào tam giác vuông ta có: ${C Đ}^{2} + C K^{2} = C H^{2}$ .

+ Chứng minh được $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ dựa vào định nghĩa tỉ số lượng giác sin $α$ , cos $α$ .

+ Ta có: $\frac{1}{\cos^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\cos^{2} α}{\cos^{2} α} + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = 1 + \tan^{2} α$

Lời giải chi tiết

Kí hiệu: cạnh huyền: CH, cạnh đối: CĐ, cạnh kề: CK.

Theo định nghĩa ta có: $\sin α = \frac{C Đ}{C H}, \cos α = \frac{C K}{C H}, \tan α = \frac{C Đ}{C K}, \cot α = \frac{C K}{C Đ} .$

a) Ta có:

$\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{C Đ}{C H}}{\frac{C K}{C H}} = \frac{C Đ}{C K} = \tan α; \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{\frac{C K}{C H}}{\frac{C Đ}{C H}} = \frac{C K}{C Đ} = \cot α .$

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ta có: ${C Đ}^{2} + C K^{2} = C H^{2}$

Ta có:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = \frac{C Đ^{2}}{C H^{2}} + \frac{C K^{2}}{C H^{2}} = \frac{{C Đ}^{2} + C K^{2}}{C H^{2}} = \frac{C H^{2}}{C H^{2}} = 1.$

Do đó, $\frac{1}{\cos^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\cos^{2} α}{\cos^{2} α} + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = 1 + \tan^{2} α$ .