Giải bài 4.15 trang 54

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $H,$ trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O .$

a) Gọi $M$ là trung điểm của $B C .$ Chứng minh rằng $\vec{A H} = 2 \vec{O M} .$

b) Chứng minh rằng $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H} .$

c) Chứng minh rằng ba điểm $G, H, O$ cùng thuộc một đường thẳng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh tứ giác $A B H C$ là hình bình hành

- Chứng minh $M O$ là đường trung bình của $Δ A A^{'} H$

- Chứng minh $\vec{O B} + \vec{O C} = 2 \vec{O M}$ từ đó rút ra kết luận $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H} .$

- Chứng minh $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} .$

- Chứng minh $\vec{O H}$ và $\vec{O G}$ cùng phương

Lời giải chi tiết

a) Xét $(O)$ có: $\hat{A B A^{'}} = \hat{A C A^{'}} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow A^{'} C ⊥ A C$ và $A^{'} B ⊥ A B$ (1)

Ta có: $H$ là trực tâm của tam giác $A B C .$

$\Rightarrow B H ⊥ A C$ và $C H ⊥ A B$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $B H$ // $A^{'} C$ và $A^{'} B$ // $C H .$

Xét tứ giác $A B H C$ có: $B H$ // $A^{'} C$ và $A^{'} B$ // $C H$

$\Rightarrow$ tứ giác $A B H C$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow \vec{B H} = \vec{A^{'} C}$

Ta có: tứ giác $A B H C$ là hình bình hành

nên $M$ là trung điểm của $A^{'} H$

Xét $Δ A A^{'} H$ có: $M$ là trung điểm của $A^{'} H$

$O$ là trung điểm của $A A^{'}$

$\Rightarrow$ $M O$ là đường trung bình của $Δ A A^{'} H$

$\Rightarrow$ $M O$ // $A H$ và $2 M O = A H$

$\Rightarrow$ hai vectơ $\vec{M O}, \vec{A H}$ cùng hướng và $2 \vec{O M} = \vec{A H} .$

b) Ta có:

$\vec{O B} + \vec{O C} = (\vec{O M} + \vec{M B}) + (\vec{O M} + \vec{M C}) = 2 \vec{O M} + (\vec{M B} + \vec{M C}) = 2 \vec{O M}$

Ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O A} + 2 \vec{O M} = \vec{O A} + \vec{A H} = \vec{O H}$ (3)

c) Ta có: $G$ là trọng tâm của $Δ A B C$

nên $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} .$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \vec{O H} = 3 \vec{O G}$

$\Rightarrow \vec{O H}$ và $\vec{O G}$ cùng phương

hay ba điểm $G, H, O$ cùng thuộc một đường thẳng.