Giải bài 4.17 trang 46

Với (alpha < beta < {90^o}), hãy chứng minh rằng: a) (cos alpha > cos beta ) (HD. Sử dụng Ví dụ 5 và bài 4,15); b) (sin alpha < sin beta ) (HD. Sử dụng công thức ({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1)).

Đề bài

Với $α < β < 90^{o}$ , hãy chứng minh rằng:

a) $\cos α > \cos β$ (HD. Sử dụng Ví dụ 5 và bài 4,15);

b) $\sin α < \sin β$ (HD. Sử dụng công thức $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ ).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Theo ví dụ 5 thì $α < β < 90^{o}$ thì $\tan α < \tan β$ .

+ Nếu $α < β < 90^{o}$ thì $\tan^{2} α < \tan^{2} β$ .

Do đó, $1 + \tan^{2} α < 1 + \tan^{2} β$ . Suy ra $\frac{1}{\cos^{2} α} < \frac{1}{\cos^{2} β}$ .

Từ đó so sánh được cos $α$ và cos $β$ .

b) Ta có: $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α; \sin^{2} β = 1 - \cos^{2} β$ .

Theo a so sánh được cos $α$ và cos $β$ .

Từ đó so sánh được sin $α$ và sin $β$

Lời giải chi tiết

Theo ví dụ 5 ta có: khi cho số đo góc nhọn $α$ tăng lên thì tan $α$ tăng lên, tức là $α < β < 90^{o}$ thì $\tan α < \tan β$ .

a) Nếu $α < β < 90^{o}$ thì $\tan^{2} α < \tan^{2} β$ .

Do đó, $1 + \tan^{2} α < 1 + \tan^{2} β$ .

Suy ra $\frac{1}{\cos^{2} α} < \frac{1}{\cos^{2} β}$ .

Do đó, $\cos^{2} α > \cos^{2} β$ .

Vậy $\cos α > \cos β$ .

b) Theo a ta có: $\cos^{2} α > \cos^{2} β$ nên $1 - \cos^{2} α < 1 - \cos^{2} β$ .

Suy ra $\sin^{2} α < \sin^{2} β$ .

Vậy $\sin α < \sin β$ .