Giải bài 4.17 trang 65

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\vec{a} = 3. \vec{i} - 2. \vec{j}$ , $\vec{b} = (4; - 1)$ và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\vec{M N}$ và $2 \vec{a} - \vec{b}$ .

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tìm tọa độ của hai vectơ $\vec{M N}$ , $2 \vec{a} - \vec{b}$ và nhận xét.

b) Các điểm O, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{O M}$ , $\vec{O N}$ cùng phương.

c) OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{P N}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{a} = 3. \vec{i} - 2. \vec{j} \Rightarrow \vec{a} (3; - 2)$ .

$\Rightarrow 2 \vec{a} - \vec{b} = (2.3 - 4; 2. (- 2) - (- 1)) = (2; - 3)$ .

$\vec{M N} = (3 - (- 3); - 3 - 6) = (6; - 9)$ .

Dễ thấy: $(6; - 9) = 3. (2; - 3)$ $\Rightarrow \vec{M N} = 3 (2 \vec{a} - \vec{b})$ .

b) Ta có: $M (- 3; 6) \Rightarrow \vec{O M} = (- 3; 6)$ và $N (3; - 3) \Rightarrow \vec{O N} = (3; - 3)$ .

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{- 3}{3} \neq \frac{6}{- 3}$ ) nên các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $\vec{O M} = \vec{P N}$ .

Do $\vec{O M} = (- 3; 6), \vec{P N} = (3 - x; - 3 - y)$ nên

$\vec{O M} = \vec{P N} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} - 3 = 3 - x \\ 6 = - 3 - y \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = 6 \\ y = - 9 \end{array}$

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).