Giải bài 4.18 trang 54

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ đều với trọng tâm $O .$ $M$ là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi $D, E, F$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $B C, C A, A B .$ Chứng minh rằng $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O} .$

Lời giải chi tiết

Gọi đường thẳng đi qua $M$ và song song với $A B$ cắt $B C, A C$ lần lượt tại $G, J$ ; đường thẳng đi qua $M$ và song song với $B C$ cắt $A B, A C$ lần lượt tại $P, I$ ; đường thẳng đi qua $M$ và song song với $A C$ cắt $A B, B C$ lần lượt tại $Q, H$ .

Ta có: $M G$ // $A B$ $\Rightarrow$ $\hat{M G H} = \hat{A B C} = 60^{\circ}$ .

$M H$ // $A C$ $\Rightarrow$ $\hat{M H G} = \hat{A C B} = 60^{\circ}$ .

$\Rightarrow$ $Δ M H G$ là tam giác đều.

Mặt khác $M D ⊥ H G$

$\Rightarrow$ $D$ là trung điểm của $G H$

$\Rightarrow$ $2 \vec{M D} = \vec{M G} + \vec{M H}$ (1)

Chứng minh tương tự ta được: $2 \vec{M E} = \vec{M Q} + \vec{M P}$ , $2 \vec{M F} = \vec{M I} + \vec{M J}$ (2)

Ta có: Tứ giác $A Q M J,$ $B P M G,$ $C I M H$ là hình bình hành.

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F})$

$= \vec{M G} + \vec{M H} + \vec{M Q} + \vec{M P} + \vec{M I} + \vec{M J}$ .

$(\vec{M Q} + \vec{M J}) + (\vec{M I} + \vec{M H}) + (\vec{M P} + \vec{M G})$

$= \vec{M A} + \vec{M C} + \vec{M B}$

$= \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{M O} + \vec{O C} + \vec{M O} + \vec{O B}$

$= 3 \vec{M O} + (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

$= 3 \vec{M O}$ .

$\Rightarrow \vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$ (đpcm).