Giải bài 4.18 trang 55

Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B), điểm F thuộc cạnh AD (F khác A và D).

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B), điểm F thuộc cạnh AD (F khác A và D). Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC tại I. Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại K.

a) Chứng minh rằng $A I = C K$ .

b) Gọi N là giao điểm của EF và AC. Chứng minh rằng: $\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{A C}{A N}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định lí Thalès để chứng minh: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên $A D = B C$ , AD//BC nên $\hat{I A D} = \hat{K C B}$ (so le trong) (1)

Vì NF//ID (gt) nên $\hat{A N F} = \hat{A I D}$ (đồng vị)

Vì EN//BK (gt) nên $\hat{B K C} = \hat{E N C}$ (đồng vị)

Mà $\hat{A N F} = \hat{E N C}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\hat{A I D} = \hat{B K C}$ (2)

Tam giác BKC có: $\hat{K C B} + \hat{B K C} + \hat{C B K} = 180^{0}$ (3)

Tam giác AID có: $\hat{I A D} + \hat{A I D} + \hat{A D I} = 180^{0}$ (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có: $\hat{A D I} = \hat{K B C}$

Tam giác AID và tam giác CKB có:

$\hat{A D I} = \hat{K B C}$ (cmt), $A D = B C$ (cmt), $\hat{I A D} = \hat{K C B}$ (cmt)

Do đó, $Δ A I D = Δ C K B (g - c - g) \Rightarrow A I = C K$

b) Tam giác ABK có EN//BK (gt) nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{A B}{A E} = \frac{A K}{A N}$

Tam giác ADI có FN//DI (gt) nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{A D}{A F} = \frac{A I}{A N}$

Do đó, $\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{A K}{A N} + \frac{A I}{A N} = \frac{A K + A I}{A N}$

Mà $A I = C K$ (cmt) nên $\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{A K + C K}{A N} = \frac{A C}{A N}$