Giải bài 4.18 trang 65

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2-1;4-3\right)=\left(1;1\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-3-1;2-3\right)=\left(-4;-1\right)$.

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{1}{-4}\ne \frac{1}{-1}$).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là $\left(\frac{1+2}{2};\frac{3+4}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)$.

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $\left(\frac{1+2+\left(-3\right)}{3};\frac{3+4+2}{3}\right)=\left(0;3\right)$.

d) Để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì:

$\left(0;0\right)=\left(\frac{x_A+x_B+x_D}{3};\frac{y_A+y_B+y_D}{3}\right)$

$\iff \left(0;0\right)=\left(\frac{1+2+x}{3};\frac{3+4+y}{3}\right)$

$\iff \left(0;0\right)=\left(1+2+x;3+4+y\right)$

$\iff \left(0;0\right)=\left(x+3;y+7\right)$

$\iff \{\begin{array}{c}0=x+3\\ 0=y+7\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-3\\ y=-7\end{array}$.

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).