Đề bài
Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm M sao cho −−→MA+−−→MB+2−−→MC=→0
b) Xác định điểm N thỏa mãn 4−−→NA−2−−→NB+−−→NC=→0
Lời giải chi tiết
a) Giả sử tìm được điểm M sao cho −−→MA+−−→MB+2−−→MC=→0
Gọi I là trung điểm của AB và J là trung điểm của cạnh CI.
Ta có: −−→MA+−−→MB+2−−→MC=−−→MI+−→IA+−−→MI+−→IB+2−−→MC=2−−→MI+2−−→MC=4−−→MJ
Mặt khác −−→MA+−−→MB+2−−→MC=→0
⇒ 4−−→MJ=→0⇒−−→MJ=→0⇒M≡J
Vậy M là trung điểm của CI.
b) Giả sử tìm được điểm N thỏa mãn 4−−→NA−2−−→NB+−−→NC=→0
Gọi K là trung điểm của AC.
Ta có: 4−−→NA−2−−→NB+−−→NC=2(−−→NA−−−→NB)+(−−→NA+−−→NC)+−−→NA
=2−−→BA+(−−→NK+−−→KB+−−→NK+−−→KC)+−−→NA=2−−→BA+2−−→NK+−−→NA
Gọi M là điểm thỏa mãn 2−−−→MK+−−→MA=0
Khi đó: 2−−→NK+−−→NA=2(−−−→NM+−−−→MK)+−−−→NM+−−→MA=3−−−→NM
Do đó 4−−→NA−2−−→NB+−−→NC=2−−→BA+3−−−→NM
Mặt khác 4−−→NA−2−−→NB+−−→NC=→0
⇒ 2−−→BA+3−−−→NM=→0 ⇔ −−−→NM=23−−→AB (1)
Lấy điểm P thuộc cạnh AB sao cho −−→AP=23−−→AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ −−−→NM=−−→AP
⇒ tứ giác APMN là hình bình hành
Vậy điểm N cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành APMN.
