Giải bài 4.2 trang 7

Tìm: a) (int {frac{{{{left( {x + 2} right)}^2}}}{{{x^4}}}} dx); b) (int {sqrt x } left( {7{x^2} + 6} right)dx).

Đề bài

Tìm:

a) $\int \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}} d x$ ;

b) $\int \sqrt{x} (7 x^{2} + 6) d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Ta sử dụng các biến đổi cơ bản và sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa.

Ý b: Ta sử dụng các biến đổi cơ bản và sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}} = \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x^{4}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}$ .

Do đó $\int \frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{4}} d x = \int (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{4}{x^{4}}) d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x + \int \frac{4}{x^{4}} d x$

$= \frac{- 1}{x} + 4 \cdot \frac{x^{- 2}}{- 2} + 4 \cdot \frac{x^{- 3}}{- 3} + C$ $= \frac{- 1}{x} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{3 x^{3}} + C .$

b) Ta có $\int \sqrt{x} (7 x^{2} + 6) d x = \int (7 x^{2} \sqrt{x} + 6 \sqrt{x}) d x$ $= 7 \int x^{2} \sqrt{x} d x + 6 \int \sqrt{x} d x = 7 \int x^{\frac{5}{2}} d x + 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

$= 7 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2}}}{(\frac{7}{2})} + 6 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{(\frac{3}{2})} + C = 2 x^{3} \sqrt{x} + 4 x \sqrt{x} + C = 2 x \sqrt{x} (x^{2} + 2) + C .$