Giải bài 4.20 trang 48, 49

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$ .

(HD: ta có $\sin B = \frac{A H}{A B}, \sin C = \frac{A H}{A C}, \cos B = \sin C$ và áp dụng công thức $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ với mọi góc nhọn $α$ ).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tam giác ABH vuông tại H nên $\sin B = \frac{A H}{A B}$ suy ra $\frac{1}{A B^{2}} = \frac{\sin^{2} B}{A H^{2}}$ .

+ Tam giác AHC vuông tại H nên $\sin C = \frac{A H}{A C}$ suy ra $\frac{1}{A C^{2}} = \frac{\sin^{2} C}{A H^{2}}$

+ Vì B và C là hai góc phụ nhau nên $\cos B = \sin C$ , suy ra $\cos^{2} B = \sin^{2} C$ .

+ $\frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{\sin^{2} C}{A H^{2}} + \frac{\sin^{2} B}{A H^{2}} = \frac{\cos^{2} B + \sin^{2} B}{A H^{2}} = \frac{1}{A H^{2}}$

Lời giải chi tiết

Tam giác ABH vuông tại H nên $\sin B = \frac{A H}{A B}$ ,

do đó, $\frac{1}{A B} = \frac{\sin B}{A H}$ ,

suy ra $\frac{1}{A B^{2}} = \frac{\sin^{2} B}{A H^{2}}$ .

Tam giác AHC vuông tại H nên $\sin C = \frac{A H}{A C}$ ,

do đó $\frac{1}{A C} = \frac{\sin C}{A H}$ ,

suy ra $\frac{1}{A C^{2}} = \frac{\sin^{2} C}{A H^{2}}$ .

Vì B và C là hai góc phụ nhau nên $\cos B = \sin C$ , suy ra $\cos^{2} B = \sin^{2} C$ .

Ta có:

$\frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{\sin^{2} C}{A H^{2}} + \frac{\sin^{2} B}{A H^{2}} = \frac{\cos^{2} B + \sin^{2} B}{A H^{2}} = \frac{1}{A H^{2}}$