Giải bài 4.21 trang 70

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (- 3; 1), \vec{b} = (2; 6)$ ;

b) $\vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4)$ ;

c) $\vec{a} = (- \sqrt{2}; 1), \vec{b} = (2; - \sqrt{2})$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng:

$\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ .

Lời giải chi tiết

a) $\vec{a} . \vec{b} = (- 3) .2 + 1.6 = 0$

$\Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ hay $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o}$ .

b) ${\begin{cases} \vec{a} . \vec{b} = 3.2 + 1.4 = 10 \\ | \vec{a} | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}, | \vec{b} | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5} \end{cases}$

$\Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{10}{\sqrt{10} .2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{o}$ .

c) Dễ thấy: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương do $\frac{- \sqrt{2}}{2} = \frac{1}{- \sqrt{2}}$ .

Hơn nữa: $\vec{b} = (2; - \sqrt{2}) = - \sqrt{2} . (- \sqrt{2}; 1) = - \sqrt{2} . \vec{a}$ ; $- \sqrt{2} < 0$ .

Do đó: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 180^{o}$ .

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+ $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o}$ : nếu $\vec{a} . \vec{b} = 0$

+ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương:

$(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{o}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

$(\vec{a}, \vec{b}) = 180^{o}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ .