Giải bài 4.23 trang 17

Đề bài

Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) $y=e^x,y=\sqrt{x},x=0,x=1$;

b) $y=\cos x,y=\frac{1}{2},x=0,x=\frac{\pi }{3}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $e^x\ge 1\ge \sqrt{x}$ với mọi $x\in \left[0;1\right]$ nên diện tích cần tìm là

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-\sqrt{x}\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-\sqrt{x}\right)dx={\left(e^x-\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right)|}_0^1=e-\frac{2}{3}-1=e-\frac{5}{3}$

$={\left(\frac{-x^3}{3}+4x\right)|}_0^2+{\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)|}_2^5=\frac{-8}{3}+8+\frac{125}{3}-20-\frac{8}{3}+8=\frac{97}{3}$.

b) Vì $\cos x\ge \frac{1}{2}$ với mọi $x\in \left[0;\frac{\pi }{3}\right]$ nên diện tích cần tìm là

$S=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left|\cos x-\frac{1}{2}\right|dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)dx={\left(\sin x-\frac{x}{2}\right)|}_0^{\frac{\pi }{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}$.