Giải bài 4.23 trang 49

Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN, (MN = n) (mét), (MP = p) (mét), (p > n) và (widehat {MPA} = alpha ) (H.4.12). Chứng minh rằng: (AB = frac{{ptan alpha - n}}{{sin alpha }}).

Đề bài

Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN, $M N = n$ (mét), $M P = p$ (mét), $p > n$ và $\hat{M P A} = α$ (H.4.12). Chứng minh rằng: $A B = \frac{p \tan α - n}{\sin α}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh $\hat{B A N} = \hat{B P M} = α$ .

+ Tam giác BAN vuông tại N có: $B N = A B . \sin α$ .

+ Tam giác BPM vuông tại M có: $B M = P M \tan α = p \tan α$ .

+ $B M - B N = M N = n$ nên $p \tan α - A B \sin α = n$ , từ đó tính được AB theo n, p, $α$ .

Lời giải chi tiết

Vì AN//PM nên $\hat{B A N} = \hat{B P M} = α$ .

Tam giác BAN vuông tại N có:

$B N = A B . \sin α$ .

Tam giác BPM vuông tại M có:

$B M = P M \tan α = p \tan α$ .

Vì $B M - B N = M N = n$ nên $p \tan α - A B \sin α = n$ .

Suy ra $A B = \frac{p \tan α - n}{\sin α}$ .