Giải bài 4.23 trang 58

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; - 1),B(1;4) và C(7;0).

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho ba điểm $A (2; - 1), B (1; 4)$ và $C (7; 0) .$

a) Tính độ dài các đoạn thẳng $A B, B C$ và $C A .$ Từ đó suy ra tam giác $A B C$ là một tam giác vuông cân.

b) Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $A B D C$ là một hình vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính độ dài đoạn thẳng $A B, A C, B C$

- Áp dụng định lý Pi-ta-go đảo để chứng minh $Δ A B C$ vuông cân tại $A$

- Sử dụng tích chất hai vectơ bằng nhau để tìm điểm $D$ : $\vec{A B} = \vec{D C}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(4 + 1)}^{2}} = \sqrt{26}$

$A C = | \vec{A C} | = \sqrt{{(7 - 2)}^{2} + {(0 + 1)}^{2}} = \sqrt{26}$

$B C = | \vec{B C} | = \sqrt{{(7 - 1)}^{2} + {(0 - 4)}^{2}} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$

Xét $Δ A B C$ có: $A B^{2} + A C^{2} = 26 + 26 = 52 = B C^{2}$

$\Rightarrow$ $Δ A B C$ vuông tại $A$

mặt khác $A B = A C = \sqrt{26}$

nên $Δ A B C$ vuông cân tại $A$

b) Gọi điểm $D$ có tọa độ là: $D (x; y) .$

Xét hình vuông $A B D C$ có:

$\begin{array}{l} \vec{A B} = \vec{C D} \\ \Leftrightarrow (1 - 2; 4 + 1) = (x - 7; y - 0) \\ \Leftrightarrow (- 1; 5) = (x - 7; y) \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x - 7 = - 1 \\ y = 5 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 6 \\ y = 5 \end{matrix} \end{array}$

Vậy $D (6; 5)$