Giải bài 4.24 trang 70

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2) a) Giải tam giác b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4; 1), B(2;4), C(2; -2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Độ dài vectơ $\vec{A B} (x; y)$ là:

$| \vec{A B} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

b) Chỉ ra $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0}$ từ đó tìm tọa độ của H.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

${\begin{cases} \vec{A B} = (2 - (- 4); 4 - 1) = (6; 3) \\ \vec{B C} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6) \\ \vec{A C} = (2 - (- 4); - 2 - 1) = (6; - 3) \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} A B = | \vec{A B} | = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{5} \\ B C = | \vec{B C} | = \sqrt{0^{2} + {(- 6)}^{2}} = 6 \\ A C = | \vec{C A} | = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{5} . \end{cases}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(6)}^{2}}{2.3 \sqrt{5} .3 \sqrt{5}} = \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \hat{A} \approx 53, 13^{o}$ .

$\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(6)}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - {(3 \sqrt{5})}^{2}}{2.6.3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\Rightarrow \hat{B} \approx 63, 435^{o}$ .

$\Rightarrow \hat{C} \approx 63, 435^{o}$ .

Vậy tam giác ABC có: $a = 6$ , $b = 3 \sqrt{5}$ , $c = 3 \sqrt{5}$ , $\hat{A} \approx 53, 13^{o}$ , $\hat{B} = \hat{C} \approx 63, 435^{o}$ .

b) Gọi H có tọa độ (x; y).

$\Rightarrow {\begin{cases} \vec{A H} = (x - (- 4); y - 1) = (x + 4; y - 1) \\ \vec{B H} = (x - 2; y - 4) \end{cases}$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$\Rightarrow A H ⊥ B C$ và $B H ⊥ A C$

$\Rightarrow (\vec{A H}, \vec{B C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = 0$ và $(\vec{B H}, \vec{A C}) = 90^{o} \Leftrightarrow \cos (\vec{B H}, \vec{A C}) = 0$ .

Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = \vec{0}$ .

Mà: $\vec{B C} = (0; - 6)$

$\Rightarrow (x + 4) .0 + (y - 1) . (- 6) = 0$

$\Leftrightarrow - 6. (y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1$ .

Và $\vec{A C} = (6; - 3)$

$\Rightarrow (x - 2) .6 + (y - 4) . (- 3) = 0$

$\Leftrightarrow 6 x - 12 + (- 3) . (- 3) = 0$

$\Leftrightarrow 6 x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Vậy H có tọa độ $(\frac{1}{2}; 1)$ .