Giải bài 4.24 trang 89

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

a) Chứng minh rằng AE = DF.

b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Cách 1.

a) Theo đề bài, tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}={90}^o$ hay AB ⊥ AC.

Vì D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra DE // AC.

Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ DE hay $\widehat{ADE}={90}^o$.

Tương tự, ta chứng minh được: EF ⊥ AC hay $\widehat{AEF}={90}^o$

Tứ giác ADEF có $\widehat{BAC}={90}^o;\widehat{ADE}={90}^o;\widehat{AEF}={90}^o$

Do đó tứ giác ADEF là hình chữ nhật. (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Suy ra hai đường chéo AE và DF bằng nhau.

Vậy AE = DF (đpcm).

b)Cách 1.

Vì D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DF // BC hay DF // BE.

Vì tứ giác ADEF là hình chữ nhật nên AD // EF hay BD // EF.

Tứ giác BDFE có DF // BE và BD // EF nên tứ giác BDFE là hình bình hành.

Hình bình hành BDFE có hai đường chéo BF và DE.

Mà I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của BF.

Do đó, ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Cách 2.

a) Tam giác ABC vuông tại A, AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền (gt)

Suy ra $AE=\frac{1}{2}BC$ (1)

D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC (gt)

Suy ra $DF=\frac{1}{2}BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE = DF.

b) DF là đường trung bình của tam giác ABC (cmt)

Suy ra DF // BE (DF // BC) và DF = BE (DF = $\frac{1}{2}$BC = BE).

Suy ra tứ giác BDFE là hình bình hành do đó DE và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

I là trung điểm của DE (gt) suy ra I là trung điểm của BF hay B, I, F thẳng hàng.