Giải bài 4.25 trang 70

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC,

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi vế trái, đưa về công thức $S_{A B C} = \frac{1}{2} b c . \sin A$ .

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$ .

+) $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α$ với mọi $α$ .

Lời giải chi tiết

Đặt $A = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}$

$= \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} - {(| \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos B A C)}^{2}}$ .

$\Rightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} - {(A B . A C . \cos A)}^{2}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} - A B^{2} . A C^{2} . \cos^{2} A}$

$\Leftrightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} (1 - \cos^{2} A)}$ .

Mà $1 - \cos^{2} A = \sin^{2} A$

$\Rightarrow A = \frac{1}{2} \sqrt{A B^{2} . A C^{2} . \sin^{2} A}$

$\Leftrightarrow A = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin A$ (vì $0^{o} < \hat{A} < 180^{o}$ nên $\sin A > 0$ ).

Do đó $A = S_{A B C}$ hay $S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}}$ (đpcm).