Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm C(1;6) và D(11;2).
a) Tìm tọa độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ −−→EC+−−→ED có độ dài ngắn nhất.
b) Tìm tọa độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho ∣∣∣2−−→FC+3−−→FD∣∣∣ đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho ∣∣∣−−→MC+−−→MD∣∣∣=CD.
Lời giải chi tiết
a) Vì điểm E thuộc trục tung nên tọa độ điểm E là: E(0;y)
Ta có: −−→EC=(1;6−y) và −−→ED=(11;2−y).
Khi đó: −−→EC+−−→ED=(1;6−y)+(11;2−y)=(12;8−2y)
⇒ ∣∣∣−−→EC+−−→ED∣∣∣=√122+(8−2y)2=√4(y−4)2+144
Do 4(y−4)2≥0∀y, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y=4, nên ∣∣∣−−→EC+−−→ED∣∣∣≥12, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y=4.
Vậy E(0;4) thì −−→EC+−−→ED có độ dài ngắn nhất.
b) Vì điểm F thuộc trục hoành nên tọa độ điểm F là F(x;0)
Ta có: −−→FC=(1−x;6) và −−→FD=(11−x;2).
Khi đó: 2−−→FC+3−−→FD=2(1−x;6)+3(11−x;2)=(35−5x;18).
⇒ ∣∣∣2−−→FC+3−−→FD∣∣∣=√(35−5x)2+182=√25(x−7)2+182
Do 25(x−7)2≥0∀x, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=7, nên ∣∣∣2−−→FC+3−−→FD∣∣∣≥18, đẳng thức xảy ra khi vào chỉ khi x=7.
Vậy F(7;0) thì ∣∣∣2−−→FC+3−−→FD∣∣∣ đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Ta có: CD=∣∣∣−−→CD∣∣∣=√(11−1)2+(2−6)2=2√29
Gọi I là trung điểm của CD nên I(6;4)
Ta có: −−→MC+−−→MD=2−−→MI
Khi đó: ∣∣∣−−→MC+−−→MD∣∣∣=∣∣∣2−−→MI∣∣∣=CD=2√29⇔2MI=2√29⇔MI=√29
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính MI=√29
