Giải bài 4.26 trang 70

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có

Đề bài

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) $M A^{2} = {\vec{M A}}^{2}$ .

+) Với 3 điểm M, A, G bất kì ta có: $\vec{M G} + \vec{G A} = \vec{M A}$ .

+) G là trọng tâm tam giác ABC thì: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$

$= {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$

$= {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}$

$= {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B}$

$+ {\vec{G B}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + {\vec{G C}}^{2}$

$= 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})$

$+ {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2}$

$= 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{0} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2}$ (do G là trọng tâm tam giác ABC)

$= 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2}$

$= 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ (đpcm).