Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1;2),B(3;4) và C(2;−1).
a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác đó.
b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm H của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: −−→AB=(2;2) và −−→AC=(1;−3)
Do 21≠2−3 nên các vectơ −−→AB và −−→AC không cùng phương.
⇒ ba điểm A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
Gọi G là trọng tâm của ΔABC nên {x=1+3+23=2y=2+4−13=53
Vậy G(2;53).
b) Gọi I(x;y) của đường tròn ngoại tiếp và H(x′;y′) là trực tâm của ΔABC.
Ta có: {IA2=IB2IA2=IC2⇔{(x−1)2+(y−2)2=(x−3)2+(y−4)2(x−1)2+(y−2)2=(x−2)2+(y+1)2
⇔{x+y=5x−3y=0⇔{x=154y=54
Vậy I(154;54).
Ta có: −→IH=3−→IG ⇔(x′−154;y′−54)=3(−74;512)
⇔{x′−154=−214y′−54=54⇔{x′=−32y′=52
Vậy H(−32;52).
