Đề bài
Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 1.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ −−→MA và −−→BA, −−→MA và −−→AC.
b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng −−→AM.−−→AN.
c) Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP=3PN. Hãy biểu thị các vectơ −−→AP,−−→MP theo hai vectơ −−→AB và −−→AC. Tính độ dài đoạn MP.
- Tính đường cao AM, tính góc giữa hai vectơ −−→MA và −−→BA, −−→MA và −−→AC.
- Tính độ dài MN xong áp dụng định lý Pi-ta-go để tính độ dài cạnh AN.
- Tính góc giữa hai vectơ −−→AM và −−→AN.
- Chứng minh −−→AP=34−−→AN và −−→MP=−−→AP−−−→AM xong dùng phương pháp biến đổi.
- Áp dụng định lý hàm cosin để tính cạnh MP.
Lời giải chi tiết
a) Xét ΔABC đều cạnh bằng 1 có: M là trung điểm của cạnh BC
⇒⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩AM=√32(−−→MA,−−→BA)=30∘(−−→MA,−−→AC)=150∘
Ta có: −−→MA.−−→BA=∣∣∣−−→MA∣∣∣.∣∣∣−−→BA∣∣∣.cos(−−→MA,−−→BA)=√32.cos30∘=√32.√32=34
−−→MA.−−→AC=∣∣∣−−→MA∣∣∣.∣∣∣−−→AC∣∣∣.cos(−−→MA,−−→AC)=√32.cos150∘=√32.(−√32)=−34
b) Ta có: MN=CM+CN=12+1=32
Ta có: ˆMAN=60∘
Xét ΔAMN vuông tại M có:
AN=√AM2+MN2=√(√32)2+(32)2=√3
Ta có: −−→AM.−−→AN=∣∣∣−−→AM∣∣∣.∣∣∣−−→AN∣∣∣.cos(−−→AM,−−→AN)=√32.√3.cos60∘=32.12=34
c) Ta có: P thuộc đoạn AN sao cho AP=3PN.
Nên −−→AP=34−−→AN=34(−−→AC+−−→CN)=34(−−→AC+−−→BC)=34(2−−→AC−−−→AB)
Ta có: −−→MP=−−→AP−−−→AM=34(2−−→AC−−−→AB)−12(−−→AB+−−→AC)=−−→AC−54−−→AB
Ta có: AP=34AN=3√34
⇒ MP=√AP2+AM2−2AP.AM.cosˆMAP=√214
