Giải bài 4.30 trang 18

Đề bài

Một trận dịch lây lan đến mức sau khi bùng phát t tuần số người nhiễm bệnh là

$N_{1} (t) = 0, 1 t^{2} + 0, 5 t + 150, 0 \leq t \leq 50$ .

Hai mươi lăm tuần sau khi dịch bệnh bùng phát, một loại vắc xin đã được phát triển và tiêm cho công chúng. Khi đó, số người nhiễm bệnh được điều chỉnh theo mô hình

$N_{2} (t) = - 0, 2 t^{2} + 6 t + 200, 25 \leq t \leq 50$ .

a) Tìm thời điểm t để sau khi tiêm vắc xin thì dịch bệnh kết thúc, tức là số người nhiễm bệnh là $N_{2} (t) = 0$ .

b) Ước tính gần đúng số người mà vắc xin đã ngăn ngừa khỏi dịch bệnh trong thời gian xảy ra dịch bệnh.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: t là nghiệm của phương trình $N_{2} (t) = 0$ với $25 \leq t \leq 50$ .

Ý b: Tính $\int_{25}^{50} [N_{1} (t) - N_{2} (t)] d t$ .

Lời giải chi tiết

a) Xét phương trình $N_{2} (t) = 0 \Leftrightarrow - 0, 2 t^{2} + 6 t + 200 = 0 \Leftrightarrow t = 50$ (thỏa mãn) hoặc $t = - 20$ (không thỏa mãn). Do đó sau 50 tuần thì dịch bệnh kết thúc.

b) Như vậy khi có vắc xin tiêm cho công chúng từ tuần thứ 25 tới tuần thứ 50 thì kết thúc dịch (theo mô hình chỉ ra).

Số người mà vắc xin đã ngăn ngừa khỏi dịch bệnh trong thời gian xảy ra dịch bệnh là:

$\int_{25}^{50} (N_{1} - N_{2}) d t$

$= \int_{25}^{50} (0, 3 t^{2} - 5, 5 t - 50) d t$

$= {(0, 1 t^{3} - 5, 5 \cdot \frac{t^{2}}{2} - 50 t) |}_{25}^{50} \approx 4531$ .