Đề bài
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=1,BC=√2. Gọi M là trung điểm của AD.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.
b) Gọi H là giao điểm của AC,BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.
- Tính các vectơ −−→AC và −−→BM xong tính tích vô hướng của hai vectơ −−→AC.−−→BM
- Tính độ dài các cạnh AC,AH
- Tính các vectơ −−→NB và −−→NP xong tính tích vô hướng của hai vectơ −−→NB.−−→NP
Lời giải chi tiết
a) Ta có: −−→AC=−−→AB+−−→AD (quy tắc hình bình hành)
Ta có: −−→BM=−−→AM−−−→AB=12−−→AD−−−→AB
⇒ −−→AC.−−→BM=(−−→AB+−−→AD)(12−−→AD−−−→AB)
=12−−→AB.−−→AD−−−→AB2+12−−→AD2−−−→AB.−−→AD=−−−→AB2+12−−→AD2=−1+12(√2)−1+1=0
⇒ −−→AC⊥−−→BM ⇒ AC⊥BM
b) Xét ΔABC vuông tại B có:
AC=√AB2+BC2=√1+(√2)2=√3 (1)
Xét ΔABN vuông tại A có:
1AH2=1AB2+1AM2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇒1AH2=112+1(√22)2=1+2=3
⇒AH=√33 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AH=13AC
Ta có: −−→NB=−−→AB−−−→AN=−−→AB−12−−→AH=−−→AB−16−−→AC=56−−→AB−16−−→AD
Ta có: −−→NP=−−→CP−−−→CN=12−−→CD−56−−→CA=56−−→AC−12−−→AB=56−−→AD+13−−→AB
⇒ −−→NB.−−→NP=(56−−→AB−16−−→AD)(56−−→AD+13−−→AB)
=2536−−→AB.−−→AD+518−−→AB2−536−−→AD2−118−−→AB.−−→AD=518−−→AB2−536−−→AD2=518.1−536.(√2)=518−518=0
⇒ −−→NB⊥−−→NP ⇒ NB⊥NP
⇒ ΔNBP vuông tại N.
