Đề bài
Cho tam giác ABC có ˆA<90∘. Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm BC,BD,CE. Chứng minh rằng:
a) AM vuông góc với DE.
b) BE vuông góc với CD.
c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.
- Tính các vectơ −−→AM và −−→DE xong chứng minh tích vô hướng −−→AM.−−→DE=0
- Tính các vectơ −−→BE và −−→CD xong chứng minh tích vô hướng −−→BE.−−→CD=0
- Chứng minh MN//CD và MP//BE
Lời giải chi tiết
a) Ta có: −−→DE=−−→AE−−−→AD và −−→AM=12(−−→AB+−−→AC)
⇒−−→AM.−−→DE=12(−−→AB+−−→AC)(−−→AE−−−→AD)
=12(−−→AB.−−→AE−−−→AB.−−→AD+−−→AC.−−→AE−−−→AC.−−→AD)=12(−−→AB.−−→AE−−−→AC.−−→AD)=12(AB.AE.cosˆBAE−AC.AD.cosˆCAD)=0
⇒ −−→AM⊥−−→DE ⇒ AM⊥DE
b) Ta có: −−→BE=−−→AE−−−→AB và −−→CD=−−→AD−−−→AC
⇒ −−→BE.−−→CD=(−−→AE−−−→AB)(−−→AD−−−→AC)
=−−→AE.−−→AD−−−→AE.−−→AC−−−→AB.−−→AD+−−→AB.−−→AC=−−→AE.−−→AD+−−→AB.−−→AC=AE.AD.cosˆDAE+AB.AC.cosˆBAC=AE.AD.cosˆDAE+AB.AC.cos(180∘−ˆDAE)=0
⇒ −−→BE⊥−−→CD ⇒ BE⊥CD
c) Ta có: MN và MP lần lượt là đường trung bình của ΔBCD và ΔACE
⇒ MN//CD và MP//BE
mặt khác CD⊥BE (cm câu b)
⇒ MN⊥MP
⇒ ΔMNP vuông tại M
+
Xét ΔADC và ΔABE ta có:
AD=AB
AC=AE
ˆDAC=ˆBAE=90o+ˆBAC
⇒ΔADC=ΔABE (cạnh góc cạnh)
⇒DC=BE
Lại có: MN=12DC (do M, N là trung điểm BD, BC)
MP=12BE (do M, N là trung điểm CB, CE)
⇒MN=MP
Vậy tam giác MNP vuông cân tại M.
