Giải bài 4.31 trang 65

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ có $\hat{A} < 90^{\circ} .$ Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh $A$ là $A B D$ và $A C E .$ Gọi $M, N, P$ theo thứ tự là trung điểm $B C, B D, C E .$ Chứng minh rằng:

a) $A M$ vuông góc với $D E .$

b) $B E$ vuông góc với $C D .$

c) Tam giác $M N P$ là một tam giác vuông cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính các vectơ $\vec{A M}$ và $\vec{D E}$ xong chứng minh tích vô hướng $\vec{A M} . \vec{D E} = 0$

- Tính các vectơ $\vec{B E}$ và $\vec{C D}$ xong chứng minh tích vô hướng $\vec{B E} . \vec{C D} = 0$

- Chứng minh $M N$ // $C D$ và $M P$ // $B E$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D}$ và $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{D E} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{A E} - \vec{A D})$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A C} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D}) \\ = \frac{1}{2} (\vec{A B} . \vec{A E} - \vec{A C} . \vec{A D}) \\ = \frac{1}{2} (A B . A E . \cos \hat{B A E} - A C . A D . \cos \hat{C A D}) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow$ $\vec{A M} ⊥ \vec{D E}$ $\Rightarrow$ $A M ⊥ D E$

b) Ta có: $\vec{B E} = \vec{A E} - \vec{A B}$ và $\vec{C D} = \vec{A D} - \vec{A C}$

$\Rightarrow$ $\vec{B E} . \vec{C D} = (\vec{A E} - \vec{A B}) (\vec{A D} - \vec{A C})$

$\begin{array}{l} = \vec{A E} . \vec{A D} - \vec{A E} . \vec{A C} - \vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A B} . \vec{A C} \\ = \vec{A E} . \vec{A D} + \vec{A B} . \vec{A C} \\ = A E . A D . \cos \hat{D A E} + A B . A C . \cos \hat{B A C} \\ = A E . A D . \cos \hat{D A E} + A B . A C . \cos (180^{\circ} - \hat{D A E}) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow$ $\vec{B E} ⊥ \vec{C D}$ $\Rightarrow$ $B E ⊥ C D$

c) Ta có: $M N$ và $M P$ lần lượt là đường trung bình của $Δ B C D$ và $Δ A C E$

$\Rightarrow$ $M N$ // $C D$ và $M P$ // $B E$

mặt khác $C D ⊥ B E$ (cm câu b)

$\Rightarrow$ $M N ⊥ M P$

$\Rightarrow$ $Δ M N P$ vuông tại $M$

Xét $Δ A D C$ và $Δ A B E$ ta có:

$A D = A B$

$A C = A E$

$\hat{D A C} = \hat{B A E} = 90^{o} + \hat{B A C}$

$\Rightarrow Δ A D C = Δ A B E$ (cạnh góc cạnh)

$\Rightarrow D C = B E$

Lại có: $M N = \frac{1}{2} D C$ (do M, N là trung điểm BD, BC)

$M P = \frac{1}{2} B E$ (do M, N là trung điểm CB, CE)

$\Rightarrow M N = M P$

Vậy tam giác MNP vuông cân tại M.