Giải bài 4.32 trang 52

Cho tam giác ABC có đường cao AH, (widehat B = {60^o},widehat C = {45^o}) và cạnh (BC = 6cm). Chứng minh rằng (AH = 3left( {3 - sqrt 3 } right)cm).

Đề bài

Cho tam giác ABC có đường cao AH, $\hat{B} = 60^{o}, \hat{C} = 45^{o}$ và cạnh $B C = 6 c m$ . Chứng minh rằng $A H = 3 (3 - \sqrt{3}) c m$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chỉ ra H nằm giữa B và C.

+ Tam giác ABH vuông tại H nên $A H = B H . \tan B$ , suy ra $B H = \frac{A H}{\sqrt{3}}$ .

+ Chứng minh tam giác ACH vuông cân tại H, suy ra $C H = A H$ .

+ $B C = B H + C H = A H (\frac{1}{\sqrt{3}} + 1)$ , từ đó suy ra $A H = 3 (3 - \sqrt{3}) c m$ .

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC có góc B và góc C đều nhọn nên H nằm giữa B và C.

Tam giác ABH vuông tại H nên $A H = B H . \tan B = B H . \tan 60^{o} = \sqrt{3} B H$ ,

suy ra $B H = \frac{A H}{\sqrt{3}}$ .

Tam giác ACH vuông tại H có $\hat{C} = 45^{o}$ nên tam giác ACH vuông cân tại H nên $C H = A H$ .

Ta có: $B C = B H + C H = A H (\frac{1}{\sqrt{3}} + 1)$ nên $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} A H = 6$ ,

suy ra $A H = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = 3 (3 - \sqrt{3}) (c m)$