Giải bài 4.32 trang 65

a) Tính tích vô hướng b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ

Đề bài

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $| \vec{a} | = 6, | \vec{b} | = 8$ và $| \vec{a} + \vec{b} | = 10.$

a) Tính tích vô hướng $\vec{a} . (\vec{a} + \vec{b}) .$

b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{a} + \vec{b} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh $Δ O A B$ vuông tại $A$

- Tính tích vô hướng $\vec{a} . (\vec{a} + \vec{b}) .$

- Tính góc giữa vectơ $\vec{a}$ và $\vec{a} + \vec{b}$ dựa vào công thức tính tích vô hướng.

Lời giải chi tiết

Giả sử $\vec{O A} = \vec{a},$ $\vec{A B} = \vec{b}$ khi đó $\vec{O B} = \vec{O A} + \vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}$

Nhận thấy $O A^{2} + A B^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100 = O B^{2}$

$\Rightarrow$ $Δ O A B$ là tam giác vuông tại $A$

$\Rightarrow$ $\vec{O A} . \vec{A B} = 0$ hay $\vec{a} . \vec{b} = 0$

a) Ta có: $\vec{a} (\vec{a} + \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} + \vec{a} . \vec{b} = {\vec{a}}^{2} = 36.$

b) Ta có: $\vec{a} . (\vec{a} + \vec{b}) = | \vec{a} | . | \vec{a} + \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{a} + \vec{b})$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 36 = 6.10. \cos (\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}) \\ \Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}) = \frac{3}{5} \\ \Leftrightarrow (\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}) \approx 53^{\circ} \end{array}$