Đề bài
Cho tam giác ABC không cân. Gọi D,E,F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A,B,C; gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Chứng minh rằng −−→MD.−−→BC+−−→NE.−−→CA+−−→PF.−−→AB=0
- Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
- Áp dụng định lý chiếu để tính tích vô hướng của các vectơ sau −−→MD.−−→BC, −−→NE.−−→CA và −−→PF.−−→AB
Lời giải chi tiết
Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Ta có: ON⊥AC, OM⊥BC, OP⊥AB (quan hệ giữa đường kính và dây cung)
Áp dụng định lý chiếu ta có:
−−→MD.−−→BC=−−→OH.(−−→OC−−−→OB)=−−→OH.−−→OC−−−→OH.−−→OB (1)
−−→NE.−−→CA=−−→OH.(−−→OA−−−→OC)=−−→OH.−−→OA−−−→OH.−−→OC (2)
−−→PF.−−→AB=−−→OH.(−−→OB−−−→OA)=−−→OH.−−→OB−−−→OH.−−→OA (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ −−→MD.−−→BC+−−→NE.−−→CA+−−→PF.−−→AB=0 (đpcm)
