Giải bài 4.33 trang 65

Cho tam giác ABC không cân. Gọi D,E,F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A,B,C; gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,CA,AB.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ không cân. Gọi $D, E, F$ theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ $A, B, C;$ gọi $M, N, P$ tương ứng là trung điểm các cạnh $B C, C A, A B .$ Chứng minh rằng $\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B} = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$

- Áp dụng định lý chiếu để tính tích vô hướng của các vectơ sau $\vec{M D} . \vec{B C},$ $\vec{N E} . \vec{C A}$ và $\vec{P F} . \vec{A B}$

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$

Ta có: $O N ⊥ A C,$ $O M ⊥ B C,$ $O P ⊥ A B$ (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Áp dụng định lý chiếu ta có:

$\vec{M D} . \vec{B C} = \vec{O H} . (\vec{O C} - \vec{O B}) = \vec{O H} . \vec{O C} - \vec{O H} . \vec{O B}$ (1)

$\vec{N E} . \vec{C A} = \vec{O H} . (\vec{O A} - \vec{O C}) = \vec{O H} . \vec{O A} - \vec{O H} . \vec{O C}$ (2)

$\vec{P F} . \vec{A B} = \vec{O H} . (\vec{O B} - \vec{O A}) = \vec{O H} . \vec{O B} - \vec{O H} . \vec{O A}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ $\vec{M D} . \vec{B C} + \vec{N E} . \vec{C A} + \vec{P F} . \vec{A B} = 0$ (đpcm)