Giải bài 4.34 trang 65

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(2;1)$ và $B(4;3).$

a) Tìm tọa độ của điểm $C$ thuộc trục hoành sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Tính chu vi và diện tích của tam giác $ABC.$

b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tam giác $ABD$ vuông cân tại $A.$

Lời giải chi tiết

a)      Vì điểm $C$ thuộc trục hoành nên tọa độ điểm $C$ là: $C(x;0)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ và $\overrightarrow{AC}=(x-2;-1)$

Để tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\iff$ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\iff$ $2\left(x-2\right)-2=0$

$\iff$ $2x-6=0$

$\iff$ $x=3$

Vậy $C(3;0).$

Ta có: $AB=2\sqrt{2},$ $AC=\sqrt{2}$ và $BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{\left(3-4\right)}^2+3^2}=\sqrt{10}$

Chu vi tam giác $ABC$ là: $AB+AC+BC=2\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{10}=3\sqrt{2}+\sqrt{10}$

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.\sqrt{2}=2$ (đvdt)

b)     Gọi tọa độ điểm $D$ là: $D(x;y)$

Ta có: $\overrightarrow{AD}=(x-2;y-1)$ và $\overrightarrow{AB}=(2;2)$

Để tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$

$\iff \{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\\ AB=AD\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2\left(x-2\right)+2\left(y-1\right)=0\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=8\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x+y=3\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=8\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=3-x\\ {\left(x-2\right)}^2+{\left(3-x-1\right)}^2=8\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y=3-x\\ {\left(x-2\right)}^2=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=3-x\\ x-2=\pm 2\end{array}\iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x=0\\ y=3\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x=4\\ y=-1\end{array}\end{array}$

Vậy $D(0;3)$ hoặc $D(4;-1)$