Giải bài 4.34 trang 72

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có MA + MC = MB + MD

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

ABCD là hình bình hành thì: $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Lời giải chi tiết

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$

$\Rightarrow \vec{A M} + \vec{M B} = \vec{D M} + \vec{M C}$

$\Leftrightarrow - \vec{M A} + \vec{M B} = - \vec{M D} + \vec{M C}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

Cách 2:

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} - \vec{M B} = \vec{M D} - \vec{M C}$ (*)

Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\vec{M A} - \vec{M B} = \vec{B A}$ ; $\vec{M D} - \vec{M C} = \vec{C D}$ .

Do đó (*) $\Leftrightarrow \vec{B A} = \vec{C D}$ (luôn đúng do ABCD là hình bình hành).

Cách 3:

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{B A} + \vec{M D} + \vec{D C}$

$= \vec{M B} + \vec{M D} + (\vec{B A} + \vec{D C})$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$ $\Rightarrow - \vec{B A} = \vec{D C}$ hay $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

$\Rightarrow \vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ (đpcm).