Giải bài 4.35 trang 65

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;4) và C(9;2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ các đỉnh B,D biết rằng tung độ của B là một số âm.

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho hai điểm $A (1; 4)$ và $C (9; 2)$ là hai đỉnh của hình vuông $A B C D .$ Tìm tọa độ các đỉnh $B, D$ biết rằng tung độ của $B$ là một số âm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi $B (x; y)$ và $D (x^{'}; y^{'})$ . Điều kiện: $y < 0$

- Tính tọa độ trung điểm $I$ của cạnh $A C$

- Lập công thức tính tọa độ trung điểm $I$ của cạnh $B D$

- Giải hệ phương trình ${\begin{matrix} \vec{I A} . \vec{I D} = 0 \\ I A = I D \end{matrix}$

Lời giải chi tiết

Gọi $B (x; y)$ và $D (x^{'}; y^{'})$ . Điều kiện: $y < 0$

Gọi $I$ là trung điểm của $A C$

$\Rightarrow$ ${\begin{matrix} x = \frac{1 + 9}{2} = 5 \\ y = \frac{4 + 2}{2} = 3 \end{matrix}$ $\Rightarrow$ $I (5; 3)$

Ta có: $I$ là trung điểm của

$\Rightarrow {\begin{matrix} x + x^{'} = 10 \\ y + y^{'} = 6 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 10 - x^{'} \\ y = 6 - y^{'} \end{matrix}$ (1)

Xét hình vuông $A B C D$ có $I$ là trung điểm của $A C$

$\Rightarrow$ $A C ⊥ B D$ tại trung điểm $I$ của chúng.

Ta có: $\vec{I A} = (- 4; 1)$ , $\vec{I B} = (x - 5; y - 3)$ , $\vec{I C} = (4; - 1)$ và $\vec{I D} = (x^{'} - 5; y^{'} - 3)$

Xét $Δ A I D$ vuông tại $I$ có:

$\Rightarrow$ ${\begin{matrix} \vec{I A} . \vec{I D} = 0 \\ I A = I D \end{matrix}$

$\Rightarrow {\begin{matrix} - 4 (x^{'} - 5) + (y^{'} - 3) = 0 \\ {(x^{'} - 5)}^{2} + {(y^{'} - 3)}^{2} = 17 \end{matrix}$

$\Rightarrow {\begin{matrix} y^{'} = 4 x^{'} - 17 \\ {(x^{'} - 5)}^{2} + {(4 x^{'} - 17 - 3)}^{2} = 17 \end{matrix}$

$\Rightarrow {\begin{matrix} y^{'} = 4 x^{'} - 17 \\ {(x^{'} - 5)}^{2} + 16 {(x^{'} - 5)}^{2} = 17 \end{matrix}$

$\Rightarrow {\begin{matrix} y^{'} = 4 x^{'} - 17 \\ {(x^{'} - 5)}^{2} = 1 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} y^{'} = 4 x^{'} - 17 \\ x^{'} - 5 = \pm 1 \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} {\begin{matrix} x^{'} = 6 \\ y^{'} = 7 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x^{'} = 4 \\ y^{'} = - 1 \end{matrix} \end{matrix}$ (thỏa mãn)

Với $x^{'} = 4$ và $y^{'} = - 1$ thay vào hệ phương trình (1), ta được:

${\begin{matrix} x = 10 - 4 = 6 \\ y = 4 + 1 = 7 \end{matrix}$ (loại)

Với $x^{'} = 6$ và $y^{'} = 7$ thao vào hệ phương trình (1), ta được:

${\begin{matrix} x = 10 - 6 = 4 \\ y = 6 - 7 = - 1 \end{matrix}$ (thỏa mãn)

Vậy $B (4; - 1)$ và $D (6; 7)$