Giải bài 4.35 trang 72

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(-2; 5) và C(-5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$.

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:  $\overrightarrow{BA}=(2-(-2);1-5)=(4;-4)$;

$\overrightarrow{BC}=(-5-(-2);2-5)=(-3;-3)$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=4.(-3)+(-4).(-3)=0$.

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}$ hay $\widehat{ABC}={90}^o$

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Lại có: $AB=\left|\overrightarrow{BA}\right|=\sqrt{4^2+{(-4)}^2}=4\sqrt{2}$;

$BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{3^2+{(-3)}^2}=3\sqrt{2}$.

Và $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=5\sqrt{2}$ (do $\Delta ABC$ vuông tại B).

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{1}{2}.4\sqrt{2}.3\sqrt{2}=12$.

Chu vi tam giác ABC là:

$AB+BC+AC=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=12\sqrt{2}$.

c) Tọa độ của trọng tâm G là:

$\left(\frac{2+(-2)+(-5)}{3};\frac{1+5+2}{3}\right)=\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right)$.

d) Giả sử điểm D thỏa mãn BCAD là một hình bình hành có tọa độ là (a; b).

Ta có: $\overrightarrow{CB}=(3;3)$ và $\overrightarrow{AD}=(a-2;b-1)$.

Vì BCAD là một hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$

$\iff (a-2;b-1)=(3;3)$

$\iff \{\begin{array}{c}a-2=3\\ b-1=3\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}a=5\\ b=4\end{array}$.

Vậy D có tọa độ (5; 4).