Giải bài 4.35 trang 72

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(-2; 5) và C(-5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{B A}$ và $\vec{B C}$ .

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tọa độ của vectơ: $\vec{B A} = (x_{A} - x_{B}; y_{A} - y_{B})$ .

b) Tính $\vec{B A} . \vec{B C} = 0$ , chỉ ra góc vuông trong tam giác ABC.

c) Công thức tọa độ của trọng tâm G là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$ .

d) BCAD là một hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{B C} = \vec{A D}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{B A} = (2 - (- 2); 1 - 5) = (4; - 4)$ ;

$\vec{B C} = (- 5 - (- 2); 2 - 5) = (- 3; - 3)$ .

b) Ta có:

$\vec{B A} . \vec{B C} = 4. (- 3) + (- 4) . (- 3) = 0$ .

$\Rightarrow \vec{B A} ⊥ \vec{B C}$ hay $\hat{A B C} = 90^{o}$

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Lại có: $A B = | \vec{B A} | = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}} = 4 \sqrt{2}$ ;

$B C = | \vec{B C} | = \sqrt{3^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{2}$ .

Và $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 5 \sqrt{2}$ (do $Δ A B C$ vuông tại B).

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C = \frac{1}{2} .4 \sqrt{2} .3 \sqrt{2} = 12$ .

Chu vi tam giác ABC là:

$A B + B C + A C = 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} = 12 \sqrt{2}$ .

c) Tọa độ của trọng tâm G là:

$(\frac{2 + (- 2) + (- 5)}{3}; \frac{1 + 5 + 2}{3}) = (\frac{- 5}{3}; \frac{8}{3})$ .

d) Giả sử điểm D thỏa mãn BCAD là một hình bình hành có tọa độ là (a; b).

Ta có: $\vec{C B} = (3; 3)$ và $\vec{A D} = (a - 2; b - 1)$ .

Vì BCAD là một hình bình hành nên $\vec{A D} = \vec{C B}$

$\Leftrightarrow (a - 2; b - 1) = (3; 3)$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a - 2 = 3 \\ b - 1 = 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a = 5 \\ b = 4 \end{cases}$ .

Vậy D có tọa độ (5; 4).